Сферическая система координат

УДК 51

Айнуллина Ч.А. студентка 2 курса

ГАПОУ «Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Антонова Ю.М. студентка 2 курса

ГАПОУ «Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Хуснутдинова А.Л. студентка 2 курса

ГАПОУ «Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Научный руководитель: Рамазанова Х.Р.

аспирант математики и механики преподаватель математики

ГАПОУ «Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Сферическая система координат

Аннотация

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических параметров фигуры в 3-х измерениях посредством задания 3-х координат (r,θ,φ) (r,θ,φ), где rr — наикратчайшее расстояние до начала координат, а θθ и φφ —зенитный и азимутальный углы соответственно. Понятия зенит и азимут обширно употребляются в астрономии.

Ключевые слова

Сферическая система, декартова система, цилиндрическая система, координаты, формулы, плоскость.

Сферическую систему координат мы используем не только в математике, но и в географии и астрономии.

В географии применяется высота и азимут сферической системы для обозначения точек на земле, называемые широтой и долготой. Как и двумерная декартова система координат полезна на поверхности сферы, так и двумерная сферическая система координат может быть практична на данной плоскости. В данной системе сфера является единичной, следовательно, R= 1, к тому же иногда без него возможно обойтись.

В астрономии существует ряд сферических систем координат, определяющие угол места с различных базовых плоскостей, такие как: горизонт наблюдающего, небесный экватор, плоскость эклиптики, плоскость терминатора Земли и галактический экватор.

Сферические и декартовые координаты связаны. В том случае когда даны сферические координаты точки (r,θ,φ), в таком случае перенос к декартовым исполняется по формулам:

Назад к сферическим от декартовых:

Тем самым, при переходе к сферическим координатам от декартовых, элемент объема станет таким:


Кроме того, сферическая и цилиндрическая координаты тоже имеют связь. Формулы перехода от сферических координат к цилиндрическим:

Назад к сферическим координатам от цилиндрических:

Якобиан перехода к цилиндрическим от сферических J=r

Координатная поверхность – это поверхность, на которой одна из координат остается постоянным значением.

А координатная линия — линия, в длину которой изменяется только одна координата, а другие координаты будут неизменными.

В сферической системе координатные линии, которые проходят через каждую точку пространства, пересекаются перпендикулярно. Эти системы координат обозначаются ортогональными.

Единичный касательный вектор к координатной линии в точке М, направленный в сторону возвышения координаты, именуется ортом в точке М, так как сферическая система координат считается ортогональной, следовательно, каждой иной точке пространства векторы er, eφ и ez попарно ортогональны.

Подчеркнем, что каждая координатная линия перпендикулярна соответствующей координатной поверхности.

Список использованной литературы

  1. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат;

Наука -, 1980. — 152 c.

  1. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат;

Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» — Москва, 2010. — 242 c.

  1. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат; МЦНМО — Москва, 2009. — 184 c.

©Айнуллина Ч.А., Антонова Ю.М., Хуснутдинова А.Л., Рамазанова Х.Р., 2021