Пространство ­­­­Лобачевского

УДК 51

Харисова Л.Ф.

Студентка 2 курса

ГАПОУ « Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Хабибуллина С.Р.

Студентка 2 курса

ГАПОУ « Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Харисова Д.Ф.

Студентка 2 курса

ГАПОУ « Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Научный руководитель: Рамазанова Х.Р.

Аспирант математики и механики

преподаватель математики

ГАПОУ «Международный колледж сервиса»

Казань, Россия

Пространство ­­­­Лобачевского

Аннотация

Теория геометрии Лобачевского придает более чёткий взгляд на науку, это интересный, необычный, сложный и, одновременно прогрессивный раздел современной геометрии. Геометрия Лобачевского приводит к более глубокому изучению материала, необходимого для размышлений.

Ключевые слова

Пространство, геометрия, гиперболическое многообразие, гиперболоид, метрика.

Подтверждение геометрии Лобачевского. После смерти Лобачевского была опубликована переписка с Гауссом, и через пару лет несколько информативных и интересных отзывов о геометрии Лобачевского. Переводы таких отзывов прорезывались на итальянском и французском языке. Также был автор Э.Бельтрами, его статья о геометрии Лобачевского вышла в 1868 году. Он пришёл к выводу о том,что локальная плоскость в геометрии Лобачевского изометрична участку псевдосферы. Бельтрами смог определить и доказать нам, что метрика плоскости Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну. В 1871 году была доказана конечная непротиворечивость геометрии Лобачевского, в момент, когда появилась модель Клейна. В 1870 году геометрии Лобачевского было посвящено специальное собрание-семинар. Оно проходило в одном из университетов Берлина. Казанское физикомаетматическое общество организовало полноценное собрание всех сочинений Лобачевского. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского предоставили ее модели. Лобачевский сам оказал основы аналитической геометрии, и он же наметил такую модель. Клейном было замечено, что орисфера, которая дана в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, следуя за этим он предположил вид обратной модели. Разберём подробнее:

Гиперболоидная модель, которая реализует пространство Лобачевского как

гиперболоид в
word image 7
. Гиперболоид

является геометрическим местом
word image 8
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

word image 9
word image 10

В данной модели прямая — это кривая, образованная пересечением
word image 11
с плоскостью, которая проходит через данное начало координат в
word image 12

Квадратичная форма которая определяет гиперболоид, позволяет нам задать соответствующую билинейную форму
word image 13

word image 14
word image 15

word image 16

Пространство
word image 17
, которое снабжено формой B, является (n+1)-мерным пространством Минковского
word image 18
.

Задаём «расстояние» на гиперболоидной модели, и определяем расстояние между двумя точками x и y на

как

word image 19
word image 20

Данная функция назывется метрикой, ведь для неё выполнены аксиомы метрического пространства. Она остается под действием ортохронной группы Лоренца O+(n,1) на
word image 21
Следовательно, ортохронная группа

Лоренца действует на
word image 22
как группа автоморфизмов, которая сохраняет расстояние.

Если говорить о предложениях, касательно сбалансированной модели плоскости, то можно отметить Клейна. Он подал идею полной модели плоскости Лобачевского в 1871 году. Преобразование круга можно назвать движением, оно преобразует хорды в хорды. Определение «Равные фигуры» это фигуры находящиеся внутри круга, которые переводятся одна в другую данными преобразованиями. Любое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости – это и есть утверждение евклидовой геометрии, которые можно отнести к фигурам, находящимся внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах.

Список использованной литературы

Александрова Н. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, — Наука, Москва, 1990.

Арикова Г. С. Что такое неэвклидова геометрия, — Наука, Москва, 2008.

Делоне К. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского, — Москва, 1956.

© Харисова Л.Ф., Хабибуллина С.Р., Харисова Д.Ф., Рамазанова Х.Р., 2021