УДК 51
Харисова Л.Ф.
Студентка 2 курса
ГАПОУ « Международный колледж сервиса»
Казань, Россия
Хабибуллина С.Р.
Студентка 2 курса
ГАПОУ « Международный колледж сервиса»
Казань, Россия
Харисова Д.Ф.
Студентка 2 курса
ГАПОУ « Международный колледж сервиса»
Казань, Россия
Научный руководитель: Рамазанова Х.Р.
Аспирант математики и механики
преподаватель математики
ГАПОУ «Международный колледж сервиса»
Казань, Россия
Пространство Лобачевского
Аннотация
Теория геометрии Лобачевского придает более чёткий взгляд на науку, это интересный, необычный, сложный и, одновременно прогрессивный раздел современной геометрии. Геометрия Лобачевского приводит к более глубокому изучению материала, необходимого для размышлений.
Ключевые слова
Пространство, геометрия, гиперболическое многообразие, гиперболоид, метрика.
Подтверждение геометрии Лобачевского. После смерти Лобачевского была опубликована переписка с Гауссом, и через пару лет несколько информативных и интересных отзывов о геометрии Лобачевского. Переводы таких отзывов прорезывались на итальянском и французском языке. Также был автор Э.Бельтрами, его статья о геометрии Лобачевского вышла в 1868 году. Он пришёл к выводу о том,что локальная плоскость в геометрии Лобачевского изометрична участку псевдосферы. Бельтрами смог определить и доказать нам, что метрика плоскости Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну. В 1871 году была доказана конечная непротиворечивость геометрии Лобачевского, в момент, когда появилась модель Клейна. В 1870 году геометрии Лобачевского было посвящено специальное собрание-семинар. Оно проходило в одном из университетов Берлина. Казанское физикомаетматическое общество организовало полноценное собрание всех сочинений Лобачевского. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского предоставили ее модели. Лобачевский сам оказал основы аналитической геометрии, и он же наметил такую модель. Клейном было замечено, что орисфера, которая дана в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, следуя за этим он предположил вид обратной модели. Разберём подробнее:
Гиперболоидная модель, которая реализует пространство Лобачевского как
гиперболоид в
. Гиперболоид
является геометрическим местом
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
В данной модели прямая — это кривая, образованная пересечением
с плоскостью, которая проходит через данное начало координат в
Квадратичная форма которая определяет гиперболоид, позволяет нам задать соответствующую билинейную форму
Пространство
, которое снабжено формой B, является (n+1)-мерным пространством Минковского
.
Задаём «расстояние» на гиперболоидной модели, и определяем расстояние между двумя точками x и y на
как
Данная функция назывется метрикой, ведь для неё выполнены аксиомы метрического пространства. Она остается под действием ортохронной группы Лоренца O+(n,1) на
Следовательно, ортохронная группа
Лоренца действует на
как группа автоморфизмов, которая сохраняет расстояние.
Если говорить о предложениях, касательно сбалансированной модели плоскости, то можно отметить Клейна. Он подал идею полной модели плоскости Лобачевского в 1871 году. Преобразование круга можно назвать движением, оно преобразует хорды в хорды. Определение «Равные фигуры» это фигуры находящиеся внутри круга, которые переводятся одна в другую данными преобразованиями. Любое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости – это и есть утверждение евклидовой геометрии, которые можно отнести к фигурам, находящимся внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах.
Список использованной литературы
Александрова Н. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, — Наука, Москва, 1990.
Арикова Г. С. Что такое неэвклидова геометрия, — Наука, Москва, 2008.
Делоне К. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского, — Москва, 1956.
© Харисова Л.Ф., Хабибуллина С.Р., Харисова Д.Ф., Рамазанова Х.Р., 2021